Simone类比学习：有这样一个命题：设x、y、z都是小于1的正数，求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1．小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC，并分别在其边上截取AD=x，BE=z，CF=y，设△ADF、△CEF和△BDE的面积分别为S1、S2、S3，则，，．由 S1+S2+S3△ABC，得 ++<．所以 x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1．类比实践：已知正数a、b、c、d，x、y、z、t满足a+x=b+y=c+z=d+t=k．求证：ay+bz+ct+dx<2k2．
的有关信息介绍如下：分析：首先作出边长为k的正方形ABCD，并分别在各边上截取：AE=a，DH=b，CG=c，BF=d，则BE=x，AH=y，DG=z，CF=t，利用图形面积求出
ay+
dx+
ct+
bz＜k2，进而得出答案即可．
证明：如图，作边长为k的正方形ABCD．
并分别在各边上截取：
AE=a，DH=b，CG=c，BF=d，
∵a+x=b+y=c+z=d+t=k，
∴BE=x，AH=y，DG=z，CF=t．
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴S1=
ay，S2=
dx，S3=
ct，S4=
bz．
∵S1+S2+S3+S4＜S正方形ABCD，
∴
ay+
dx+
ct+
bz＜k2．
∴ay+bz+ct+dx＜2k2．
点评：此题主要考查了正方形的性质，根据已知构造正方形进而表示出各三角形面积是解题关键．
